题目

如图,在三角形ABC中,角ABC=90°,AB=6,BC=8,以AB为直径的圆O交AC于D,E是BC中点,连结ED并延长交BA的延长线

提问时间：2020-10-31

答案

如图,在△ABC中,∠ABC=90,AB=6,BC=8．以AB为直径的⊙O交AC于D,E是BC的中点,连接ED并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求DB的长；
（3）求S△FAD：S△FDB的值
分析：
（1）连接BD、DO,只要证明∠ODE=90°,OD是半径,就可得到DE是⊙O的切线．
（2）根据△ADB∽△BDC,从而根据相似比不难求得BD的长．
（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行分析．
证明：（1）连接BD,DO,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°．
又∵E为BC的中点,
∴DE=EB．
∴∠EDB=∠EBD．
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD．
∵ABC=90°,
∴∠EDB+∠OBD=90°．
即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,
∴AC=10,
∵BC²=CD•AC,
∴CD= 32/5,AD= 18/5．
又∵△ADB∽△BDC,
∴BD²=AD•CD= 32/5• 18/5．
∴BD= 24/5．
（3）∵∠FDA=∠FBD,∠F=∠F,
∴△FDA∽△FBD,
∴S△FAD：S△FDB= (AD/BD)²=9/16