题目

在直角坐标系xOy中.椭圆x^2/9+y^2/4=1的左右焦点分别为F1.F2.点A为椭圆的左顶点.椭圆上的点P在第一象限.PF1垂直于PF2.圆O的方程为x^2+y^2=4 求点P坐标.并判断PF2与圆O的位置关系.是否存在不同于点A的定点B.对于圆O上任意一点M,都有MB/MA为常数?若存在.请求出所有满足条件的点B的坐标.若不存在.说明理由.

提问时间：2020-10-31

答案

设P左边为（X,Y）
依题意可得F1坐标为（-根号5,0）F2（根号5,0）
所以PF1坐标为（X+根号5,Y）PF2（X-根号5,Y）
由PF1垂直于PF2 得 （X+根号5）×（X-根号5）+y^2=0
又因为P在椭圆上所以 x^2/9+y^2/4=1
联立得X=正负3根号5/5 Y=正负4根号5/5
又点P在第一象限 所以点P的坐标为（3根号5/5,4根号5/5）
PF2的长度为 根号[（3根号5/5- 根号5）^2+（4根号5/5- 根号5）^2=2
圆O到PF2的距离d d×PF2=3根号5/5 ×根号5 所以d=3/2