题目

函数f(x)=√(3x^2-2),若数列an,a1=2,且an=f(a(n-1)),若bn=3^n/(an+an+1),求bn的Sn

提问时间：2020-10-31

答案

an=f(a(n-1))=√[3(an-1)²-2
两边平方,整理得：
an²-1=3(an-1²-1)
且a1²-1=3
所以{an²-1}是以3为首项,公比为3的等比数列
所以an²-1=3^n
an=√(3^n +1)
bn=3^n/(an+an+1)=3^n/{√(3^n +1)+√(3^[n+1) +1]} 利用平方差公式
=(3^n){√(3^n +1)-√(3^[n+1) +1]} /(-2 *3^n)
=-{√(3^n +1)-√(3^[n+1) +1]} /2
=-(an -an+1)/2
所以Sn=-(a1-an+1)/2
={√[3^(n+1) +1] }/2 -1