题目

已知抛物线C：x^2=4y的焦点为F,点P为抛物线下方的一点,
过点P(a,-2)作抛物线的两条切线与抛物线相切于A、B两点.
(1)若a=1,求直线AB的方程
(2)求证：无论a如何变化,直线AB恒过定点

提问时间：2020-10-31

答案

(1):→P(1,-2)
y`=x/2,设A(m,m²/4),B(n,n²/4)
在A点切线斜率k1=m/2
在B点切线斜率k2=n/2
PA直线斜率：k1=(m²/4+2)/(m-a)=m/2①
同理PB直线斜率k2=(n²/4+2)/(n-a)=n/2②
代入a=1
①→m=4或者m=-2
②→n=4或者n=-2
→A(4,4),B(-2,1)[逆回来也行～]
→k(AB)=(1-4)/(-2-4)=1/2
(2):第二问跟第一问很紧密
那么不知道a的取值,要设法求出AB直线所在的方程(用a表示
跟(1)差不多
那么,已知A,B是x²/2-ax-4=0(m,n的取值均符合这方程,可由(1)得到此结论)
→m+n=2a,mn=8
→A(m,m²/4),B(8/m,16/m²)
求得AB直线：(y-m²/4)/(x-m)=(8+m²)/4m
→令x=0→y=-2
→恒过定点(0,-2)