题目

设抛物线C的方程为x2=4y,M(x0,y0)为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,切点分
别为A,B,当m变化时,试探究直线l上是否存在点M,使MA⊥MB?若存在,有几个这样的店,若不存在,说明理由

提问时间：2020-10-30

答案

切线：y-y0=k(x-x0)
C：x²=4y
联立得：x²=4k(x-x0)+4y0
x²-4kx+4x0k-4y0=0
切线条件：Δ=0
Δ=(4k)²-4(4x0k-4y0)=16k²-16x0k+16y0=0
k²-x0k+y0=0
结合MA⊥MB得
k1·k2=y0=-1
此时-1=-m,m=1＞0,且
Δ‘=x0²-4y0=x0²+4＞0
于是可知当m=1时,l上任意一点都满足题设要求,即存在无数个这样的点.