题目

已知数列AN的前N项和SN=A1+A2+A3+…… +AN满足AN+2SNSN-1=0(N大于等于2)a1=1/2.

提问时间：2020-10-30

答案

an+2Sn•S(n-1)=0(n≥2),Sn-S(n-1)=an
所以Sn-S(n-1)=-2SnS(n-1)
讨论两边能不能直接除以SnS(n-1)：
假若某个Sn=0,则an=Sn-S(n-1)=-S(n-1),则0=an+2SnS(n-1)=-S(n-1)+0
所以S(n-1)=0,一步步递推能推出S1=0,这与已知条件不符,所以每一个Sn都不等于0
所以两边同时除以SnS(n-1),
得到1/Sn-1/S(n-1)=2,1/S1=1/a1=2
所以{1/Sn}是等差数列
算出其通项为1/Sn=1/S1+2(n-1)=2n
然后Sn=1/(2n),
当n≥2时,an=Sn-S(n-1)=1/(2n)-1/(2n-2)
当n=1时,an=1/2.