题目

已知向量a=(cos3/2x,sin3/2x),b=(cosx/2,-sinx/2),且x∈[-π/3,π/4]
①求a·b 及│a+b│
②若f(x)=a·b -│a+b│,求f(x)的最大值和最小值

提问时间：2020-10-30

答案

①a·b=cos(3/2x)*cos(x/2)-sin(3/2x)*sin(x/2)=cos(3/2x+x/2)；
a+b=（cos3/2x+cosx/2,sin3/2x-sinx/2）；使用和差化积公式得
a+b=（2cos(3/4x+x/4)*cos(3/4x-x/4),2cos(3/4x+x/4)*sin(3/4x-x/4)）
|a+b|=2|cos(3/4x+x/4)| （cos²θ+sin²θ=1）
②f(x)=a·b-|a+b|=cos(3/2x+x/2)-2|cos(3/4x+x/4)|
设3/4x+x/4=t,则f(x)=cos2t-2|cost|=2cos²t-1-2|cost|=2|cost|²-2|cost|-1
其中t=3/4x+x/4是对勾函数,x>0时t≥2√[(3/4x)*(x/4)]=√3/2,则值域为t∈(-∞,-√3/2]∪[√3/2,+∞)
显然t的值域包含完整周期,使cost可以取到[-1,1]上的任意值,则|cost|∈[0,1]
则f(x)=2|cost|²-2|cost|-1=2(|cost|-1/2)²-3/2,
|cost|=0或1时有最大值-1；|cost|=1/2时有最小值3/2