题目

lim(x→0)［（3次根号下1+sinx）-1］/ln(1+x+x^2)
答案是1/3

提问时间：2020-10-30

答案

x→0
lim (3^√(1+sinx)-1) / ln(1+x+x^2)
利用等价无穷小：ln(1+x+x^2)~x+x^2
因为
lim ln(1+x+x^2) / (x+x^2)
=lim ln(1+(x+x^2))^1/(x+x^2)
=ln lim (1+(x+x^2))^1/(x+x^2)
=lne
=1
故,原极限
=lim (3^√(1+sinx)-1) / (x+x^2)
记a=3^√(1+sinx)
=lim (a-1)(a^2+a+1) / (x+x^2)(a^2+a+1)
=lim (a^3-1) / (x+x^2)(a^2+a+1)
=lim sinx / (x+x^2)(a^2+a+1)
上下同时除以sinx
=lim sinx/sinx / (x+x^2)(a^2+a+1)/sinx
=lim 1 / (x/sinx+x^2/sinx)(a^2+a+1)
因为,x/sinx趋于1,x^2/sinx趋于0,a趋于1,故
=1/(1+0)(1+1+1)
=1/3
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