题目

已知P(x,y)是圆x²+y²=4上一点,求4x-3y和（y+2)/(x+2√3)的最大值和最小值

提问时间：2020-10-30

答案

两题的思路是一样的：数形结合.
x²+y²=4表示圆,4x-3y=k表示直线,问题转换为点P同时在直线和圆上,求极值.
显然,当直线和圆相切时可以取到极值,二相切则表现为圆和直线表达式组成的方程组有唯一解,而一元二次方程有唯一解的条件是判定式b²-4ac=0.
思路如上,简要过程如下：
将4x-3y=k代入x²+y²=4得到：
25/16 y²+3/8k y+1/16k²-4=0
有判别式等于0得到：
9/64 k²-4X25/16X(1/16 k²-4)=0
解出k=10,k=-10即为最大最小值.
第二问同理,设（y+2)/(x+2√3)=k得到直线表达式
y=kx+2(√3k-1)
接下来解法同上可以得到k=0,k=√3