题目

请证明爱尔可斯定理：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形．

提问时间：2020-10-28

答案

证明：连接AE、CE、CD，M是AE的中点，N是CE的中点，H是CD的中点，连接QM、QN、PM、CN、PH、GH，
∵△PQG由线段AD、BE、CF的中点构成的三角形，M是AE的中点，N是CE的中点，H是CD的中点，
∴QM=

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AB，QN=

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BC，PH=

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AC，NG=

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EF，PM=

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DE，HG=

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DF，∠NQE=∠CBE，∠AMP=∠AED，∠ABE=∠MQE，
∵AB=BC=AC，EF=DE=DF，
∴QM=QN=PH，PM=NG=HG，
∵∠PMQ=∠AMQ+∠AMP=∠MQE+∠QEM+∠AED=∠MQN+∠NQE+∠QED=∠ABE+∠QED=∠ABC+∠CBE+∠QED=60°+∠EBC+∠QED，∠QNG=∠QNC+∠CNG=∠NQE+∠QEN+∠NED+∠DEF=∠NQE+∠QED+60°，
∴∠PMQ=∠GNQ，
在△PQM和△GQN中，

QM＝QN PM＝NG ∠PMQ＝∠GNQ

，
∴△PQM≌△GQN（SAS），
∴PQ=QG，
同理可证：PG=PQ=QG，
∴△PQG是正三角形．

连接AE、CE、CD，M是AE的中点，N是CE的中点，H是CD的中点，连接QM、QN、PM、CN、PH、GH，根据三角形的中位线定理得出QM=

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AB，QN=

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BC，PH=

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AC，NG=

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EF，PM=

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DE，HG=

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DF，∠NQE=∠CBE，∠AMP=∠AED，∠ABE=∠MQE，进而证得QM=QN=PH，PM=NG=HG，∠PMQ=∠GNQ=∠PHG，根据SAS证明三角形全等，证得PG=PQ=QG即可证得．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形中位线定理．

考点点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质等，本题的难点是利用三角形的外角的定理证得∠PMQ=∠GNQ=∠PHG．