题目

在平面直角坐标系xOy中,过点P(0,2)任作一条与抛物线y=ax2(a>0)交于两点的直线
设交点分别为A,B,且∠AOB=90°
求抛物线的解析式及当三角形AOB的面积为4根号2时,直线AB的解析式

提问时间：2020-10-25

答案

设直线方程为：y-2=kx,A、B两点坐标为（x1,y1）、（x2、y2）
y=kx+2
y=ax^2
ax^2-kx-2=0
x1+x2=k/a
x1x2=-2/a
又∠AOB=90°,即
(y1/x1)*(y2/x2)=-1,即y1y2=-x1x2
所以ax1^2ax2^2=-x1x2
a^2（-2/a)=-1
a=1/2
抛物线的解析式为：y=x^2/2
(2）x1+x2=k/a=2k
x1x2=-2/a=-4,y1y2=-x1x2=4
S△AOB=√[(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)]/2=4√2
(x1^2x2^2+x1^2y2^2+x2^2y1^2+x2^2y2^2)=128
(4^2+x1^2x2^4/4+x2^2x1^4/2+4^2)=128
(x1^2+x2^2)=24
(x1+x2)^2-2x1x2=24
(x1+x2)^2=16,即
4k^2=16
k=2或k=-2
直线AB的解析式为：y=2x+2或y=-2x+2