题目

设a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边．求证：方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有公共根的充要条件是∠A=90°．

提问时间：2020-10-24

答案

证明：充分性：当A=90°时，a²=b²+c²．…（2分）
于是x²+2ax+b²=0⇔x²+2ax+a²-c²=0⇔[x+（a+c）][x+（a-c）]=0，
该方程有两根x₁=-（a+c），x₂=-（a-c）．…（5分）
同样，x²+2cx-b²=0⇔[x+（c+a）][x+（c-a）]=0，
该方程亦有两根x₃=-（c+a），x₄=-（c-a）．…（7分）
显然x₁=x₃，两方程有公共根．…（8分）
必要性：设方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0的公共根为m，…（9分）
则

m2+2am+b2＝0    (1) m2+2cm−b2＝0    (2)

…（11分）
（1）+（2）得m=-（a+c）．（m=0舍去）．…（13分）
将m=-（a+c）代入（1）式，得[-（a+c）]²+2a•[-（a+c）]+b²=0，
整理得a²=b²+c²．…（15分）
所以A=90°．
故结论成立．…（16分）

要证明方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有公共根的充要条件是A=90°，我们要分充分性和必要性两部分证明，充分性证明，即假设A=90°成立证明方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有公共根，必要性的证明，设方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0的公共根为m，证明A=90°，两们部分均成立才能得结论．

本题考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评：本题考查的是充要条件的证明，有关充要条件的证明问题，要分两个环节：一是充分性；二是必要性，属于中档题．