题目

设 A是数域P 上一个N*N 阶矩阵,证明 A与 A^T相似

提问时间：2020-10-24

答案

（为方便,A的转置为A‘）
设x1 x2 .xn 为A的特征值a1,a2,...,an对应的特征向量,记X=[x1,x2,...,xn] 其是可逆的
则有 X^(-1)AX=diag(a1,a2,...,an)
又有X'A'X'^(-1)=diag(a1,a2,...,an)
故有X'A'X'^(-1)=X^(-1)AX
进而有 (XX')A'(XX')^(-1)=A
故有A和A' 相似