题目

已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A、B两点，若点P （2，2）为AB的中点，则抛物线C的方程是（　　）
A. y²=2x
B. y²=4x
C. y²=-4x
D. y=4x²

提问时间：2020-10-23

答案

设抛物线的方程为y²=2px，（p＞0）
由

y2＝2px y＝x

消去y，得x²-2px=0，得x₁=0，x₂=2p，
∵直线被抛物线截得弦AB，且点P （2，2）为AB的中点
∴

1

2

(x1+x2)=2，得p=2，所以抛物线的方程为y²=4x
故答案为：B

设抛物线的方程为y²=2px，由抛物线方程与直线y=x消去y得关于x的方程，解出A、B的横坐标．再结合中点坐标公式和点P（2，2）为AB的中点，得p=2，从而得到抛物线的方程．

本题考点：抛物线的标准方程．

考点点评：本题给出抛物线被直线y=x截得弦AB的中点坐标，求抛物线的方程，考查了抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于基础题．