题目
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E点为DD1中点.
(1)求证:平面ACE⊥平面BDD1.
(2)求证:BD1∥平面ACE.
(3)求二面角E-AC-D的正切值.
(1)求证:平面ACE⊥平面BDD1.
(2)求证:BD1∥平面ACE.
(3)求二面角E-AC-D的正切值.
提问时间:2020-10-20
答案
(1)证明:正方体ABCD-A1B1C1D1中,
∵AC与BD是正方形ABCD的对角线,∴AC⊥BD,
∵DD1⊥平面ABCD,∴AC⊥DD1,
∴AC⊥平面BD1,
∵AC⊂平面ACE,∴平面ACE⊥平面BDD1.
(2)证明:设AC∩BD=O,则O是AC中点,
连结OE,∵E点为DD1中点,∴OE∥BD1,
∵BD1不包含于平面ACE,OE⊂平面ACE,
∴BD1∥平面ACE.
(3) 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
则AE=CE=
=
,AD=DC=2,OD=
,OE=
,
∴DO⊥AC,EO⊥AC,
∴∠DOE是二面角E-AC-D的平面角,
∴tan∠DOE=
=
=
,
∴二面角E-AC-D的正切值为
.
∵AC与BD是正方形ABCD的对角线,∴AC⊥BD,
∵DD1⊥平面ABCD,∴AC⊥DD1,
∴AC⊥平面BD1,
∵AC⊂平面ACE,∴平面ACE⊥平面BDD1.
(2)证明:设AC∩BD=O,则O是AC中点,
连结OE,∵E点为DD1中点,∴OE∥BD1,
∵BD1不包含于平面ACE,OE⊂平面ACE,
∴BD1∥平面ACE.
(3) 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
则AE=CE=
4+1 |
5 |
2 |
3 |
∴DO⊥AC,EO⊥AC,
∴∠DOE是二面角E-AC-D的平面角,
∴tan∠DOE=
DE |
DO |
1 | ||
|
| ||
2 |
∴二面角E-AC-D的正切值为
| ||
2 |
(1)由已知条件得AC⊥BD,AC⊥DD1,从而得到AC⊥平面BD1,由此能证明平面ACE⊥平面BDD1.
(2)设AC∩BD=O,则O是AC中点,连结OE,则OE∥BD1,由此能证明BD1∥平面ACE.
(3)由已知条件推导出∠DOE是二面角E-AC-D的平面角,由此能求出二面角E-AC-D的正切值.
(2)设AC∩BD=O,则O是AC中点,连结OE,则OE∥BD1,由此能证明BD1∥平面ACE.
(3)由已知条件推导出∠DOE是二面角E-AC-D的平面角,由此能求出二面角E-AC-D的正切值.
二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.
本题考查平面与平面垂直的证明,考查直线与平面平行的证明,考查二面角的正切值的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
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