题目

两圆x²+y²+2ax+a²-4=0与x²+y²-4by-1+4b²=0恰有三条公切线,
若a∈r,b∈r,且ab≠0,则1/a²+1/b²的最小值是多少

提问时间：2020-10-20

答案

两圆有三条公切线说明它们的位置关系是外切,故两圆心间距离为两圆半径之和.根据圆的标准方程易得它们的圆心分别为（-a,0）及（0,2*b）,半径分别为2、1.根据两点间距离公式有a ^2 + 4*b^2 = (2+1)^2 = 9 ,则(a ^2 + 4*b^2 )(1/a² + 1/b²) = 9*(1/a^2+1/b^2) = 1 + 4 + 4*b^2/a^2 + a^2/b^2 >= 1 + 4 + 2*4^(1/2) = 9 当且仅当a^4=9*b^4 时等号成立,则1/a^2+1/b^2 >= 1.答案是1.