题目

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-1，等差数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=S₃．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c

提问时间：2020-10-19

答案

（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1…（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
即 

an

an−1

＝2…（3分）
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，2为公比的等比数列，
∴an＝2n−1，Sn＝2n−1…（5分）
设{b_n}的公差为d，b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，∴d=2
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1…（8分）
（2）cn＝

1

bnbn+1

＝

1

(2n−1)(2n+1)

＝

1

2

(

1

2n−1

−

1

2n+1

)…（10分）
∴Tn＝

1

2

(1−

1

3

+

1

3

−

1

5

+…+

1

2n−1

−

1

2n+1

)＝

1

2

(1−

1

2n+1

)＝

n

2n+1

…（12分）
由T_n＞

1001

2012

，得

n

2n+1

＞

1001

2012

，解得n＞100.1
∴T_n＞

1001

2012

的最小正整数n是101…（14分）