题目

已知抛物线的一条过焦点F的弦PQ，点R在直线PQ上，且满足

OR

=

1

2

(

OP

+

OQ

)，R在抛物线准线上的射影为S，设α，β是△PQS中的两个锐角，则下列四个式子
①tanαtanβ=1；②sinα+sinβ≤

2

；③cosα+cosβ＞1；④|tan（α-β）|＞tan

α+β

2

中一定正确的有（　　）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

提问时间：2020-10-19

答案

∵

OR

=

1

2

(

OP

+

OQ

)，R在抛物线准线上的射影为S，
∴△PQS是直角三角形，则α+β=

π

2

，故①②③都对，
当PQ垂直对称轴时|tan(α-β)|=0＜tan

α+β

2

，
故一定正确的命题有3个，
故选C

由已知中抛物线的一条过焦点F的弦PQ，点R在直线PQ上，且满足

OR

=

1

2

(

OP

+

OQ

)，R在抛物线准线上的射影为S，设α，β是△PQS中的两个锐角，可得△PQS是直角三角形，则α+β=

π

2

，进而可得①②③正确；举出反倒可判断④错误，进而得到答案．

本题考点：命题的真假判断与应用

考点点评：本题以命题的真假判断为载体考查了抛物线的几何性质，三角函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．