题目

如图二次函数y=x²+bx+c的图象经过A（-1，0）和B（3，0）两点，且交y轴于点C．

（1）试确定b、c的值；
（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点M为此抛物线的顶点，试确定△MCD的形状．
参考公式：顶点坐标(−

b

2a

，

4ac−b2

4a

)．

提问时间：2020-10-19

答案

（1）将A、B两点坐标代入解析式，有：

0＝1−b+c 0＝9+3b+c

（1分）
解得：b=-2，c=-3（2分）
（2）在函数y=x²+bx+c中a=1，b=-2，c=-3，因而-

b

2a

=1

4ac−b2

4a

=-4
∴抛物线的顶点M（1，-4）
在函数y=x²-2x-3中，令x=0，解得y=-3
∴C点的坐标是（0，-3），
把y=-3代入函数y=x²-2x-3，
解得x=2则D点的坐标是（2，-3），CD=2，CM=

(1−0)2+(−4+3)2

=

2

同理DM=

2

∴△MCD是等腰直角三角形．

（1）把A和B两点的坐标代入函数解析式，就可以得到一个关于b，c的方程组，解方程组就可以求出b，c的值．
（2）根据抛物线的顶点坐标的公式代入就可以求出顶点坐标，在抛物线的解析式中，令x=0，解得C点的坐标；C点与D的纵坐标相同，把纵坐标的值代入函数解析式就可以得到D点的坐标，根据坐标就可以求出△CDM的三边的长度．从而判断三角形的形状．

本题考点：二次函数综合题．

考点点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，利用公式法求函数的解析式，以及利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形．