题目

已知直线y=kx+1与双曲线3x^2-y^2=1相交于A,B两点,1,以AB为直径的圆过原点,求实数k的值 2,是否存在这样的实数k,使A,B关于直线y=1/2 *x对称?如果存在,求出k的值,不存在说明理由

提问时间：2020-10-18

答案

y=kx+1与3x^2-y^2=1联立消去y得：
（3-k^2）x^2 -2kx-2=0,由韦达定理：
x1+x2=2k/(3-k^2),x1·x2=-2/（3-k^2）.
1、设A（x1,y1）、B（x2,y2）,∵AB为直径的圆过原点,∴x1·x2+y1·y2=0.
其中,y1+y2=k(x1+x2)+2=6/（3-k^2）,y1·y2=(kx1+1)(kx2+1)=1.
代入得：k=±1.
2、A,B关于直线y=1/2 *x对称,则AB的斜率=-2,且A、B的中点坐标满足方程y=1/2 *x,即有y1+y2=(x1+x2)/2.
∵k=-2时,y1+y2=-6,(x1+x2)/2=2,-6≠2,∴k不存在.