题目

若双曲线

x2

9

−

y2

4

＝1的两条渐近线恰好是抛物线y＝ax2+

1

3

的两条切线，则a的值为（　　）
A.

3

4

B.

1

3

C.

8

27

D.

5

3

提问时间：2020-10-18

答案

由题得，双曲线

x2

9

−

y2

4

＝1的两条渐近线方程为y=±

2

3

x，又因为是抛物线y＝ax2+

1

3

的两条切线
所以有

y＝ ± 2 3 x y＝ax2+ 1 3

⇒ax²±

2

3

x+

1

3

=0对应△=(±

2

3

)2-4×

1

3

a=0
解得a=

1

3

，
故选 B．

先求出双曲线

x2

9

−

y2

4

＝1的两条渐近线方程，再与抛物线方程联立，利用相切找到对应的判别式为0即可求出a的值．

本题考点：圆锥曲线的综合．

考点点评：本题涉及到双曲线的两条渐近线方程的求法，在求双曲线的两条渐近线方程时，一定要先看焦点在X轴上还是焦点在Y轴上．