题目

中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为

3

2

，与直线x+y-1=0相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程．

提问时间：2020-10-17

答案

设椭圆方程x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），∵e=32，∴a2=4b2，即a=2b．∴椭圆方程为x24b2+y2b2=1．把直线方程代入化简得5x2-8x+4-4b2=0．设M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1+x2=85，x1x2=15（4-4b2），∴y1y2=（1-x1）（1-x...

设椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），依题意椭圆方程可转化为

x2

4b2

+

y2

b2

=1，与直线x+y-1=0联立，设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），利用OM⊥ON可得x₁x₂+y₁y₂=0，利用韦达定理可得到关于b的关系式，从而可求得b²与a²．

本题考点：椭圆的标准方程．

考点点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，突出考查韦达定理的应用，考查待定系数法及综合分析与运算能力，属于中档题．