题目
如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,直线y=3x+9与x轴、y轴分别交于A、C两点,抛物线y如图,在平面直
提问时间:2020-10-17
答案
是这题吗……
如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,直线y=3x+9与x轴、y轴分别交于A、C两点,抛物线y=-1/4x²+bx+c经过A、C两点,与x轴的另一个交点为点B,动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动,动点Q从点B出发沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动,动点N从点C出发沿CA以每秒3√10/5个单位长度的速度向点A运动,点P、Q、N同时出发、同时停止,设运动时间为t(0<t<5)秒.
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断△ABC大的形状;
(3)以OC为直径的⊙O´与BC交于点M,求当t为何值时,PM与⊙O´相切?请说明理由;
(4)在点P、Q、N运动的过程中,是否存在△NCQ为直角三角形的情形,若存在,求出相应的t值;若不存在,请说明理由
(1)在y=-3 4
x+9
中,令x=0,得y=9;令y=0,得x=12.
∴C(0,9),B(12,0).
又抛物线经过B,C两点,∴ c=9
-36+12b+c=0 ,解得 b=9 4 c=9 ∴y=-1 4 x2+9 4 x+9.
于是令y=0,得-1 4 x2+9 4
x+9=0,
解得x1=-3,x2=12.∴A(-3,0).
(2)当t=3秒时,PM与⊙O′相切.连接OM.
∵OC是⊙O′的直径,∴∠OMC=90°.∴∠OMB=90°.
∵O′O是⊙O′的半径,O′O⊥OP,∴OP是⊙O′的切线.
而PM是⊙O′的切线,∴PM=PO.∴∠POM=∠PMO.
又∵∠POM+∠OBM=90°,∠PMO+∠PMB=90°,∴∠PMB=∠OBM.∴PM=PB.
∴PO=PB=1
2 OB=6.∴PA=OA+PO=3+6=9.此时t=3(秒).
∴当t=3秒,PM与⊙O′相切.
(3)①过点Q作QD⊥OB于点D.
∵OC⊥OB,∴QD∥OC.∴△BQD∽△BCO.∴QD OC =BQ BC .
又∵OC=9,BQ=3t,BC=15,∴QD 9 =3t 15
,解得QD=9 5 t.
∴S△BPQ=1 2 BP•QD=-27 10 t2+27 2 t.即S=-27 10 t2+27 2 t.
S=-27
10 (t-5 2 )2+135 8 .故当t=5 2 时,S最大,最大值为135 8
.
②存在△NCQ为直角三角形的情形.
∵BC=BA=15,∴∠BCA=∠BAC,即∠NCM=∠CAO.
∴△NCQ欲为直角三角形,∠NCQ≠90°,只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°两种情况.
当∠NQC=90°时,∠NQC=∠COA=90°,∠NCQ=∠CAO,
∴△NCQ∽△CAO.∴NC
CA =CQ AO .∴3 10 5 t 32+92 =15-3t 3 ,解得t=25 6
.
当∠QNC=90°时,∠QNC=∠COA=90°,∠QCN=∠CAO,
∴△QCN∽△CAO.∴CQ AC =NC OA .∴15-3t
32+92 =3 10 5 t 3 ,解得t=5 3 .
综上,存在△NCQ为直角三角形的情形,t的值为25 6 和5 3 .
从其他地方复制来的,有一些数学符号打不出来TAT
如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,直线y=3x+9与x轴、y轴分别交于A、C两点,抛物线y=-1/4x²+bx+c经过A、C两点,与x轴的另一个交点为点B,动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动,动点Q从点B出发沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动,动点N从点C出发沿CA以每秒3√10/5个单位长度的速度向点A运动,点P、Q、N同时出发、同时停止,设运动时间为t(0<t<5)秒.
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断△ABC大的形状;
(3)以OC为直径的⊙O´与BC交于点M,求当t为何值时,PM与⊙O´相切?请说明理由;
(4)在点P、Q、N运动的过程中,是否存在△NCQ为直角三角形的情形,若存在,求出相应的t值;若不存在,请说明理由
(1)在y=-3 4
x+9
中,令x=0,得y=9;令y=0,得x=12.
∴C(0,9),B(12,0).
又抛物线经过B,C两点,∴ c=9
-36+12b+c=0 ,解得 b=9 4 c=9 ∴y=-1 4 x2+9 4 x+9.
于是令y=0,得-1 4 x2+9 4
x+9=0,
解得x1=-3,x2=12.∴A(-3,0).
(2)当t=3秒时,PM与⊙O′相切.连接OM.
∵OC是⊙O′的直径,∴∠OMC=90°.∴∠OMB=90°.
∵O′O是⊙O′的半径,O′O⊥OP,∴OP是⊙O′的切线.
而PM是⊙O′的切线,∴PM=PO.∴∠POM=∠PMO.
又∵∠POM+∠OBM=90°,∠PMO+∠PMB=90°,∴∠PMB=∠OBM.∴PM=PB.
∴PO=PB=1
2 OB=6.∴PA=OA+PO=3+6=9.此时t=3(秒).
∴当t=3秒,PM与⊙O′相切.
(3)①过点Q作QD⊥OB于点D.
∵OC⊥OB,∴QD∥OC.∴△BQD∽△BCO.∴QD OC =BQ BC .
又∵OC=9,BQ=3t,BC=15,∴QD 9 =3t 15
,解得QD=9 5 t.
∴S△BPQ=1 2 BP•QD=-27 10 t2+27 2 t.即S=-27 10 t2+27 2 t.
S=-27
10 (t-5 2 )2+135 8 .故当t=5 2 时,S最大,最大值为135 8
.
②存在△NCQ为直角三角形的情形.
∵BC=BA=15,∴∠BCA=∠BAC,即∠NCM=∠CAO.
∴△NCQ欲为直角三角形,∠NCQ≠90°,只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°两种情况.
当∠NQC=90°时,∠NQC=∠COA=90°,∠NCQ=∠CAO,
∴△NCQ∽△CAO.∴NC
CA =CQ AO .∴3 10 5 t 32+92 =15-3t 3 ,解得t=25 6
.
当∠QNC=90°时,∠QNC=∠COA=90°,∠QCN=∠CAO,
∴△QCN∽△CAO.∴CQ AC =NC OA .∴15-3t
32+92 =3 10 5 t 3 ,解得t=5 3 .
综上,存在△NCQ为直角三角形的情形,t的值为25 6 和5 3 .
从其他地方复制来的,有一些数学符号打不出来TAT
举一反三
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