题目

如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当

FB

⊥

AB

时，其离心率为

5 −1

2

，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于______．

提问时间：2020-10-17

答案

在黄金双曲线中，|OA|=a，|OB|=b，|OF|=c，
由题意可知，|BF|²+|AB|²=|AF|²，
∴b²+c²+c²=a²+c²+2ac，
∵b²=c²-a²，整理得c²=a²+ac，
∴e²-e-1=0，解得e＝

5 +1

2

，或e＝

− 5 +1

2

（舍去）．
故黄金双曲线的离心率e得e＝

5 +1

2

．

在黄金双曲线中，|BF|²+|AB|²=|AF|²，由此可知b²+c²+c²=a²+c²+2ac，∵b²=c²-a²，整理得c²=a²+ac，即e²-e-1=0，解这个方程就能求出黄金双曲线的离心率e．

本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：注意寻找黄金双曲线中a，b，c之间的关系，利用双曲线的性质求解．