题目

如图,在三角形ABC中,已知角ACB=90度,CD为AB边上的高,DE垂直AC于点E,三角形ADE的中线AG的延长线交BC于点F
(1)若CF=FG,求证：FG=1/3AF (2)在（2）的条件下,若AC=6倍根号2,求DE的长

提问时间：2020-10-16

答案

第一个问题：
延长CG交AB于H.
∵BC⊥AC、DE⊥AC,∴BC∥DE,∴EG/DG＝CF/BF,而EG＝DG,∴CF＝BF,又CF＝FG,
∴CF＝FG＝BF,∴点F是△BCG的外接圆圆心,∴BC是△BCG的外接圆直径,∴BG⊥CG.
由BD⊥CD、BG⊥CG,得：B、C、G、D共圆,∴∠DGH＝∠CBH.
∵BC∥DE,∴∠BCH＝∠CGE＝∠DGH＝∠CBH,∴BH＝CH.
∵AC⊥BC,∴∠ACH＋∠BCH＝∠CAH＋∠CBH,∴∠ACH＝∠CAH,∴AH＝CH.
由BH＝CH、AH＝CH,得：AH＝BH.
∵AH＝BH、CF＝BF,∴G是△ABC的重心,∴FG＝（1/3）AF.
第二个问题：你是不是将在（1）的条件下写成了在（2）的条件下?若是这样,则方法如下：
∵FG＝（1/3）AF,又CF＝FG,∴CF＝（1/3）AF.
由勾股定理,有：AF^2＝CF^2＋AC^2,∴AF^2＝（1/9）AF^2＋36×2,
∴（8/9）AF^2＝36×2,∴AF＝9,∴CF＝FG＝（1/3）AF＝3,∴AG＝6.
∵EG∥CF,∴△AEG∽△ACF,∴EG/CF＝AG/AF,∴EG＝CF×AG/AF＝3×6/9＝2,
∴DE＝2EG＝4.
注：若第二个问题不是我所猜测的那样,则请你补充说明.