题目

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，且CE=CF，连结BF、DE，试问BF、DE的大小关系和位置关系如何？并证明你的结论．

提问时间：2020-10-16

答案

BF=DE，且BF⊥DE．理由如下：
连接DB．
∵DH是AB的垂直平分线，∠A=22.5°，
∴BD=AD，
∴∠A=∠DBH=22.5°，
∴∠CDB=∠A+∠DBH=45°．
∵∠ACB=90°，
∴∠CBD=45°，
∴CD=CB．
在△ECD和△FCB中
∵

EC＝FC ∠ECD＝∠FCB CD＝CB

，
∴△ECD≌△FCB（SAS），
∴ED=FB，∠DEC=∠BFC，
∴∠DEC+∠FBC=90°，即ED⊥FB．

连接DB，根据DH是AB的垂直平分线得出∠A=∠DBH，再根据三角形外角的性质得出∠CDB=∠A+∠DBH，故可得出CD=CB．由SAS定理得出△ECD≌△FCB，所以ED=FB，∠DEC=∠BFC，∠DEC+∠FBC=90°，进而可得出结论．

本题考点：线段垂直平分线的性质．

考点点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．