题目

假如A是n阶矩阵,b是n维非零向量,r1,r2非齐次线性方程组AX=b的解,m是齐次线性方程AX=0的解.
若r1,r2,不相等,证明r1,r2,线性无关
若A的秩为n-1,证明m,r1,r2线性相关

提问时间：2020-10-15

答案

若r1,r2线性相关则r1,r2成倍数关系,
既有r1=kr2而知道r1-r2为齐次方程的解,r1-r2=（1-k）r2
所以有A（1-k）r2=（1-k）Ar2=0 与Ar2=b矛盾!,所以两个无关
如果A的秩为n-1,可得e就是基础解系,所以通解（取某一个解必存在c1和c2都可以被e和r1,r2表示）既有
x=c1e+r1,x=c2e+r2都要成立,相减有有（c1-c2)e+r1-r2=0,所以相关