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题目
如图所示,⊙O半径为2,弦BD=2
3
,A为弧BD的中点,E为弦AC的中点,且在BD上,求四边形ABCD的面积.

提问时间:2020-10-15

答案
连接OA交BD于点F,连接OB,
∵OA在直径上且点A是弧BD中点,
∴OA⊥BD,BF=DF=
3

在Rt△BOF中
由勾股定理得OF2=OB2-BF2
OF=
22(
3
)
2
=1
∵OA=2
∴AF=1
∴S△ABD=
2
3
×1
2
=
3

∵点E是AC中点
∴AE=CE
又∵△ADE和△CDE同高
∴S△CDE=S△ADE
∵AE=EC,
∴S△CBE=S△ABE
∴S△BCD=S△CDE+S△CBE=S△ADE+S△ABE=S△ABD=
3

∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=2
3
由A是弧BD的中点,根据垂径定理,可知OF⊥BD,且BF=DF=
1
2
BD=
3
,在Rt△BOF中,利用勾股定理,可求出OF=1,即AF=1,那么,S△ABD=
1
2
×BD×AF=
3
,而E是AC中点,会出现等底同高的三角形,因而有S四边形=2S△ABD=2
3

圆心角、弧、弦的关系;勾股定理.

本题利用了垂径定理、勾股定理,还有等底同高的三角形面积相等等知识.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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