题目

已知直线X+Y-1=0与圆X^2+Y^2+X-6Y+m=0交与A,B两点,O为原点,且OA⊥OB,求实数m的值

提问时间：2020-10-15

答案

∵A、B在直线x＋y－1＝0上,即在y＝1－x上,
∴可设A、B的坐标分别是（a,1－a）,（b,1－b）.
∴OA的斜率＝（1－a）/a,OB的斜率＝（1－b）/b.
将y＝1－x代入给定的圆的方程中,得：x^2＋（1－x）^2＋x－6（1－x）＋m＝0,
∴2x^2－2x＋1＋x－6＋6x＋m＝0,∴2x^2＋5x＋m－5＝0.
显然,a、b是方程2x^2＋5x＋m－5＝0的根,由韦达定理,有：
a＋b＝－5/2,ab＝（m－5）/2.
∵OA⊥OB,∴［（1－a）/a］［（1－b）/b］＝－1,
∴［1－（a＋b）＋ab］/（ab）＝－1,∴［1－（a＋b）］/（ab）＋1＝－1,
［1－（－5/2）］/［（m－5）/2］＝－2,∴（2＋5）/（m－5）＝－2,
∴7＝－2（m－5）＝－2m＋10,∴2m＝10－7＝3,∴m＝3/2.
即：满足条件的m的值为3/2.