题目

如图，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）、…、P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜…＜y_n）是曲线C：y²=3x（y≥0）上的n个点，点A_i（a_i，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A₀是坐标原点）．

（1）写出a₁，a₂，a₃；
（2）求出点A_n（a_n，0）（n∈N^*）的横坐标a_n关于n的表达式；并用数学归纳法证明．

提问时间：2020-10-15

答案

解（1）a1=2，a2=6，a3=12；（2）依题意，得 xn＝an−1+an2，yn＝3•an−an−12，由此及yn2=3xn得 (3•an−an−12)2＝32(an−1+an)，即（an-an-1）2=2（an-1+an）．由（1）可猜想：an=n（n+1）n∈N*下面用数学归纳法...