题目

已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD⊥AD，垂足为D，连CD．求证：
（1）∠CDA=45°；
（2）AD-BD=

2

CD．

提问时间：2020-10-15

答案

（1）证明：如图所示，∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∵∠ACB=90°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠CDA=∠ABC，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠CDA=∠ABC=45°；（2）在AD上取点E，使AE=BD，则DE=AD-BD，∵A、B、C、D四点共圆...

（1）根据BD⊥AD，可得∠ADB=90°，然后根据∠ACB=90°，证得A、B、C、D四点共圆，得出∠CDA=∠ABC，又根据△ABC为等腰直角三角形，可得出∠CDA=45°；
（2）在AD上取点E，使AE=BD，可得DE=AD-BD，然后根据A、B、C、D四点共圆得出∠1=∠2，证得△ACE≌△BCD，然后得出∠3=∠4，又根据∠ACB=∠3+∠BCE=90°，可得∠4+∠BCE=∠ECD=90°，结合（1）中结论，得出CD=CE，然后在Rt△DCE中，证得AD-BD=

2

CD．

本题考点：四点共圆．

考点点评：本题考查了四点共圆，涉及了全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，关键是根据两个直角证得A、B、C、D四点共圆，难度较大．