题目

如图所示，等边三角形CEF的边长与菱形ABCD的边长相等．

（1）求证：∠AEF=∠AFE；
（2）求∠B的度数．

提问时间：2020-10-15

答案

（1）证明：∵等边三角形CEF的边长与菱形ABCD的边长相等，
∴BC=CE，
∴∠B=∠BEC．
同理∠D=∠CFD，
又∵∠B=∠D，
∴∠BEC=∠CFD．
∵EC=FC，
∴∠CEF=∠CFE．
∵∠BEC+∠CEF+∠AEF=∠CFD+∠CFE+∠AFE=180°，
∴∠AEF=∠AFE．
（2）连接AC，
设∠BCE=y，∠B=x，△CEF是等边三角形，
∴∠ECF=60°，又根据对称性得到CA为∠ECF的平分线，
因而∠ACE=30°，
∴在△ABC和△BCE中，根据三角形内角和定理分别得到方程组

2(30+y)+x＝180 2x+y＝180

解得

x＝80 y＝20

则∠B的度数是80°．

本题中比较多的条件是相等的线段，出现了较多的等腰三角形．
（1）根据等腰三角形的性质可以得到∠B=∠BEC，∠D=∠CFD，∠CEF=∠CFE．因而就可以证明：∠AEF=∠AFE．
（2）连接AC，设∠BCE=y，∠B=x，根据三角形内角和定理得到方程组

2(30+y)+x＝180 2x+y＝180

，求解即可．

本题考点：菱形的性质；等腰三角形的性质．

考点点评：本题运用了等腰三角形的性质，根据三角形三角和定理，可以把问题转化为方程组的问题．