题目

已知函数f(x)=2cos2x/2+根号3sinx（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若α为第三象限角,且f（α-π/6）=1/3,求cos2α/1+cos2α-sin2α的值（3）将函数f（x）上所有点的横坐标缩小为原来的1/2,纵坐标不变,再把所得的图像向下平行移动一个单位,得到g（x）的图像,当x∈[0,π/2]时,g（x）+k=0有两个不等根,求k的取值范围.

提问时间：2020-10-14

答案

f(x)=2cos²x/2+√3sinx

    =cosx+1+√3sinx
    =√3sinx+cosx+1
    =2sin(x+π/6)+1
（1）求函数f（x）的最小正周期=2π/1=2π
（2）f（α-π/6）=1/3

2sinα+1=1/3
sinα=-1/3
α为第三象限角

∴cosα=-2√2/3

则 cos2a/(1+cos2α-sin2α)=cos2a/(2cos²a-2sinacosa)
                                     =(cos²a-sin²a)/[2cosa(cosa-sina)]
                                     =(sina+cosa)/(2cosa)
                                     =(-1/3-2√2/3)/(-4√2/3)
                                     =(4+√2)/4
（3）将函数f（x）上所有点的横坐标缩小为原来的1/2,纵坐标不变,再把所得的图像向下平行移动一个单位,得到g（x）的图像

g(x)=2sin(2x+π/6)
x∈[0,π/2]

2x+π/6∈[π/6,7π/6]

g（x）+k=0有两个不等根
g(x)=-k
观察图像,只有在2x+π/6∈[π/6,π/2)和(π/2,7π/6]有两个不等根,2x+π/6不能等于π/2
∴1≤-k<2
-2<k≤-1