题目

就k讨论直线y=kx+1与双曲线x^2-y^2=1的焦点个数

提问时间：2020-10-14

答案

两方程联立,消去y,得：
x²－(kx＋1)²=1
(1－k²)x²－2kx－2=0
1）
①若1－k²=0,即：k=±1时,方程有唯一解,满足；
②若1－k²≠0,即：k≠±1时,此时必须△=(－2k)²＋8(1－k²)=0,解得：k=±√2
总结,当k=±1或k=±√2时,直线y=kx＋1与曲线x²－y²=1有唯一交点.
2）
若直线l与双曲线有两个不同交点
则 （#）有2个不等的实数解
==> Δ=4k²+8(1-k²)>0
若k≠1,还需Δ>0才能推出
直线l与双曲线有两个不同交点
∴k≠1时,直线l与双曲线有两个不同交点