题目

设定义域为R的函数f（x）=

lg|x-1|，x≠1 0，x=1

，则关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解得充要条件是（　　）
A. b＜0且c＞0
B. b＞0且c＜0
C. b＜0且c=0
D. b≥0且c=0

提问时间：2020-10-13

答案

∵题中原方程f²（x）+af（x）+c=0有且只有5个不同实数解，
∴即要求对应于f（x）等于某个常数有3个不同实数解，
∴故先根据题意作出f（x）的简图：
由图可知，只有当f（x）=0时，它有三个根．
故关于x的方程f²（x）+af（x）+c=3中c=0，且b＜0．
故选C．

题中原方程f²（x）+af（x）+c=3有且只有5个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数有3个不同实数解，
故先根据题意作出f（x）的简图：由图可知，只有当f（x）=0时，它有三个根．故关于x的方程f²（x）+af（x）+c=3有且只有5个不同实数解．

本题考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数与方程的综合运用．

考点点评：数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．