题目
什么斯特瓦尔定理 ,请详细!
提问时间:2020-10-13
答案
定理描述
任意三角形ABC中,D是底边BC上一点,连结AD,则有:AB^2*CD+AC^2*BD=(AD^2+BD*DC)*BC
也可以有另一种表达形式:设BD=u,DC=v,则有:
AD^2=(b^2×u+c^2×v)/a-uv
当D为BC中点
则有:AD^2=(AB^2+AC^2-(BC^2)/2)/2
证明:
过点A作AE⊥BC于E,设DE = x(假设底边四点从左到右顺序为B、D、E、C)
则
AE^2 = b^2 - (v-x)^2 = c^2 - (u+x)^2 = AD^2 - x^2
若E在BC的延长线上,则v-x换成x-v
所以有 AD^2 = b^2 - v^2 + 2ux
AD^2 = c^2 - u^2 - 2ux
1式+2式得
AD^2(u+v) = b^2u + c^2v - uv(u + v)
故 AD^2 = (b^2u + c^2v)/a - uv
1)当AD是⊿ABC中线时,u = v = 1/2a AD^2 = (b^2+c^2-(a^2)/2)/2
2)当AD是⊿ABC内角平分线时,由三角形内角平分线的性质,得u = ac/(b+c),v =ab/(b+c)
设s = (a+b+c)/2
得 AD^2 = 4/(a+b)^2 *(bcs(s-a))
3)当AD是⊿ABC高时,AD^2 = b^2 - u^2 = c^2 - v^2
再由 u+v = a
得
AD^2 = 1/4a^2(2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4)
任意三角形ABC中,D是底边BC上一点,连结AD,则有:AB^2*CD+AC^2*BD=(AD^2+BD*DC)*BC
也可以有另一种表达形式:设BD=u,DC=v,则有:
AD^2=(b^2×u+c^2×v)/a-uv
当D为BC中点
则有:AD^2=(AB^2+AC^2-(BC^2)/2)/2
证明:
过点A作AE⊥BC于E,设DE = x(假设底边四点从左到右顺序为B、D、E、C)
则
AE^2 = b^2 - (v-x)^2 = c^2 - (u+x)^2 = AD^2 - x^2
若E在BC的延长线上,则v-x换成x-v
所以有 AD^2 = b^2 - v^2 + 2ux
AD^2 = c^2 - u^2 - 2ux
1式+2式得
AD^2(u+v) = b^2u + c^2v - uv(u + v)
故 AD^2 = (b^2u + c^2v)/a - uv
1)当AD是⊿ABC中线时,u = v = 1/2a AD^2 = (b^2+c^2-(a^2)/2)/2
2)当AD是⊿ABC内角平分线时,由三角形内角平分线的性质,得u = ac/(b+c),v =ab/(b+c)
设s = (a+b+c)/2
得 AD^2 = 4/(a+b)^2 *(bcs(s-a))
3)当AD是⊿ABC高时,AD^2 = b^2 - u^2 = c^2 - v^2
再由 u+v = a
得
AD^2 = 1/4a^2(2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4)
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
最新试题
热门考点
- 1其他竞争者参与回答却没有被选用,这样对其他竞争者是一种时间的浪费和精力的浪费.用英语怎么说
- 2a hungry
- 3wonderful,fantastic,brilliant作为“精彩的”有何区别
- 4地球是一个什么形状的球体?
- 5有关能量的转化和守恒定律,下列说法正确的是( ) A.能量守恒定律只适用于机械能与内能的相互转化 B.能量守恒定律只适用能量转化过程 C.“摩擦生热”是创造了热,它不符合能量守
- 6She bought a carton of milk yesterday.改为一般疑问句
- 7一艘轮船往返于甲、乙码头之间,顺水航行3小时,逆水航行3.5小时,若轮船在静水中的速度为每小时26千米
- 8(-2)的100次方+(-2)的101次方,结果等于...
- 9急寻一篇四分钟左右的关于环境的英语演讲稿
- 10复数形式怎么改例如what‘s this in Eglish