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题目
如图,已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=3/4x的图像交与点A
已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=3/4x的图像交于点A,且与x轴交于点B
.过点A作AC⊥y轴交y轴于点C,过点B作直线l∥y轴 .动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O—C—A的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动时间为t秒.
①当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?
②当P在OC上时,以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形,试求t的值.

提问时间:2020-10-13

答案
(1)∵一次函数y=-x+7与正比例函数y=
4
3
x的图象交于点A,且与x轴交于点B.

y=-x+7
y=
4
3
x
,
解得:
x=3
y=4
,
∴A点坐标为:(3,4);
∵y=-x+7=0,
解得:x=7,
∴B点坐标为:(7,0).
(2)①当P在OC上运动时,0≤t<4时,PO=t,PC=4-t,BR=t,OR=7-t,
∵当以A、P、R为顶点的三角形的面积为8,
∴S梯形ACOB-S△ACP-S△POR-S△ARB=8,

1
2
(AC+BO)×CO-
1
2
AC×CP-
1
2
PO×RO-
1
2
AM×BR=8,
∴(AC+BO)×CO-AC×CP-PO×RO-AM×BR=16,
∴(3+7)×4-3×(4-t)-t×(7-t)-4t=16,
∴t2-8t+12=0,
解得:t1=2,t2=6(舍去),
当4≤t<7时,S△APR=
1
2
AP×OC=2(7-t)=8,解得t=3,不符合4≤t<7;
综上所述,当t=2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8;
②存在.延长CA到直线l于一点D,当l与AB相交于Q,
∵一次函数y=-x+7与x轴交于(7,0)点,与y轴交于(0,7)点,
∴NO=OB,
∴∠OBN=∠ONB=45°,
∵直线l∥y轴,
∴RQ=RB,CD⊥L,
当0≤t<4时,如图1,
RB=OP=QR=t,DQ=AD=(4-t),AC=3,PC=4-t,
∵以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形,则AP=AQ,
∴AC2+PC2=AP2=AQ2=2AD2,
∴9+(4-t)2=2(4-t)2,解得:t1=1,t2=7(舍去),
当AP=PQ时 32+(4-t)2=(7-t)2,
解得t=4 (舍去)
当PQ=AQ时,2(4-t)2=(7-t)2,
解得t1=1+3
2
(舍去),t2=1-3
2
(舍去)
当4≤t<7时,如图(备用图),过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4,
设直线l交AC于E,则QE⊥AC,AE=RD=t-4,AP=7-t,
由cos∠OAC=
AE
AQ
=
AC
AO
,
得AQ=
5
3
(t-4),
若AQ=AP,则
5
3
(t-4)=7-t,解得t=
41
8
,
当AQ=PQ时,AE=PE,即AE=
1
2
AP,
得t-4=
1
2
(7-t),
解得:t=5,
当AP=PQ时,过P作PF⊥AQ,于F,
AF=
1
2
AQ=
1
2
×
5
3
(t-4),
在Rt△APF中,由cos∠PAF=
AF
AP
=
3
5
,
得AF=
3
5
AP,

1
2
×
5
3
(t-4)=
3
5
(7-t),
解得:t=
226
43
,
综上所述,当t=1、5、
41
8

226
43
秒时,存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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