题目

已知函数f（x）=

3

2

sinx-

1

2

cosx，（x∈R），求f（x）的最大值，并求使f（x）取得最大值时x 的集合．

提问时间：2020-10-12

答案

∵f（x）=

3

2

sinx-

1

2

cosx=sinxcos

π

6

-cosxsin

π

6

=sin（x-

π

6

），
∴f（x）取到最大值为1
当x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=2kπ+

2π

3

，k∈Z时，f（x）取到最大值为1．
∴f（x）取到最大值时的x的集合为{x|x=2kπ+

2π

3

，k∈Z}．

逆用两角差的正弦与辅助角公式将f（x）=

3

2

sinx-

1

2

cosx转化为f（x）=sin（x-

π

6

），利用正弦函数的性质即可求得f（x）的最大值，及f（x）取得最大值时x 的集合．

本题考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．

考点点评：本题考查两角差的正弦与辅助角公，考查正弦函数的性质，属于中档题．