题目

若函数y=x²-2ax，x∈[2，4]，求函数的最小值g（a）的表达式．

提问时间：2020-10-12

答案

∵函数y=x²-2ax=（x-a）²-a²开口方向向上，
∴对称轴为动直线x=a，
由对称轴与区间的位置关系，分三种情况讨论：
①当a＜2时，函数在[2，4]上单调递增，
则当x=2时，y_min=g（a）=4-4a； 
②当2≤a≤4时，函数在[2，a]上单调递减，在[a，4]上单调递增，
则当x=a时，y_min=g（a）=-a²；
③当a＞4时，函数在[2，4]上单调递减，
则当x=4时，y_min=g（a）=16-8a．
综上，g（a）=

4−4a，a＜2 −a2，2≤a≤4 16−8a，a＞4

．

首先判断出函数y=x²-2ax=（x-a）²-a²开口方向向上，对称轴为动直线x=a；然后根据对称轴与区间的位置关系，分①当a＜2时，②当2≤a≤4时，③当a＞4时三种情况讨论，求出函数的最小值g（a）的表达式即可．

本题考点：二次函数的性质．

考点点评：本题主要考查了二次函数的性质，以及求二次函数在某个区间上的最值的方法，考查了分类讨论思想的运用，属于基础题．