题目

求二次函数f（x）=x²-2ax+2在x∈[-1，1}上的最小值g（a），并指出g（a）的单调区间及其值域．

提问时间：2020-10-12

答案

f（x）图象的对称轴为x=a，开口向上，
当a＜-1时，f（x）在[-1，1]上递增，则g（a）=f（-1）=3+2a；
当-1≤a≤1时，g（a）=f（a）=2-a²；
当a＞1时，f（x）在[-1，1]上递减，则g（a）=f（1）=3-2a；
所以g（a）=

3+2a，a＜−1 2−a2，−1≤a≤1 3−2a，a＞1

，
则g（a）的增区间为（-∞，-1）和[-1，0]；减区间为（1，+∞）和[0，1]．
当a＜-1时，g（a）＜1；当-1≤a≤1时，1≤g（a）≤2；当a＞1时，g（a）＜1；
所以g（a）的值域为（-∞，2]．

由f（x）的图象特征可分a＜-1；-1≤a≤1；a＞1三种情况进行讨论，结合图象可求得g（a）；由g（a）表达式易求其单调区间，分别求出各段的取值范围，然后并起来即可得到函数值域．

本题考点：二次函数在闭区间上的最值．

考点点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值、二次函数的单调性及其值域，属中档题．