题目

函数f(x)定义在正整数集上,且满足：f(1)=2002和f(1)+f(2)+……+f(n)=n平方f(n),求f(2002)的值

提问时间：2020-10-11

答案

设Sn=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)
则Sn=n²f(n)
Sn-S(n-1)=n²f(n)-(n-1)²f(n-1)
f(n)=n²f(n)-(n-1)²f(n-1)
n²f(n)-f(n)=(n-1)²f(n-1)
(n+1)(n-1)f(n)=(n-1)²f(n-1)
f(n)=[(n-1)/(n+1)]f(n-1)
f(2)=(1/3)f(1)
f(3)=(2/4)f(2)
f(4)=(3/5)f(3)
……
……
f(n)=[(n-1)/(n+1)]f(n-1)
以上各式相乘
f(2)f(3)f(4)……f(n)=[(1/3)(2/4)(3/5)……(n-1)/(n+1)]f(1)f(2)f(3)……f(n-1)
f(n)=[(1×2)/n(n+1)]f(1)
f(n)=4004/(n(n+1))
f(2002)=4004/(2002×2003)
f(2002)=2/2003