题目

在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,且满足2a⁴+2b⁴+c⁴=2a²c²+2b²c²
试判断△ABC的形状.

提问时间：2020-10-11

答案

应该是一个等腰三角形.利用平均值不等式,有2a^4+1/2*c^4≥2a^2c^2,2b^4+1/2*c^4≥2b^2c^2；
两式相加,得2a^4+2b^4+c^4≥2a^2c^2+2b^2c^2.由题目条件知,该不等式等号成立,所以根据平均值不等式等号成立的条件,知2a^4=1/2*c^4,2b^4=1/2*c^4；由此,知a=b=c/（2^0.5）,所以是等腰三角形.
扩展：
如果题目条件改为：a^4+b^4+2c^4=2a^2c^2+2b^2c^2,则用相同方法,可以得出三角形为等边三角形.