题目

设函数f(x)＝

x

4

−ax(a＞0)的零点都在区间[0，5]上，则函数g(x)＝

1

x

与函数h(x)＝

x

3

−a的图象的交点的横坐标为正整数时实数a的取值个数为（　　）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 无穷个

提问时间：2020-10-11

答案

∵函数f（x）=x⁴-ax（a＞0）的零点都在区间[0，5]上，又f（x）=x⁴-ax=x（x³-a）
令f（x）=0，
∴x=0，或x=

3	a

∴

3	a

≤5
∴a≤125
由

1

x

＝x3−a可得a=x3−

1

x

令F（x）=x3−

1

x

（x≠0），则F′（x）=3x2+

1

x2

＞0恒成立
∴F（x）在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递增且F（1）=F（-1）=0
∵0＜x3−

1

x

＜125
当x=2，3，4，5时满足题意
故选B

由题意根据函数f（x）=x⁴-ax（a＞0）的零点都在区间[0，5]上可得a的范围，然后然后再进行判断．

本题考点：函数的零点与方程根的关系．

考点点评：此题考查函数的零点与方程根的关系，解题的关键是求出f（x）在区间[0，5]上的值域，是一道好题，属于基础题．