题目

计算积分值∫（0,2a）dx∫(0,根号(2ax-x²))(x²+y²)dy具体解一下

提问时间：2020-10-10

答案

∫（0,2a）dx∫(0,根号(2ax-x²))(x²+y²)dy
=∫∫D [x²＋y²]dxdy
其中 D是由y=根号(2ax-x²)及y=0所围的半圆
x²＋y²=2ax
p²=2apcosθ
即
p=2acosθ
所以
原式=∫∫Dp²·pdpdθ
=∫（0,π/2）dθ∫（0,2acosθ）p³dp
=1/4∫0,π/2）16a的4次方 （cosθ）的4次方dθ
=4a的4次方∫0,π/2） （cosθ）的4次方dθ
=4a的4次方·3/4·1/2·π/2
=3π/4 ·a的4次方.