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题目
已知直线y=kx与曲线y=lnx有公共点,则k的最大值为______.

提问时间:2020-10-09

答案
若k≤0,则满足条件,
当k>0,直线y=kx与y=lnx相切时,此时k取得最大值.
设切点为(a,b),
则函数的导数为f′(x)=
1
x

即切线斜率k=f′(a)=
1
a

则切线方程为y-b=
1
a
(x-a)=
1
a
x-1,
即y=
1
a
x+b-1=
1
a
x+lna-1,
∵y=kx是切线,
k=
1
a
lna−1=0
,解得a=e,k=
1
e

若直线y=kx与曲线y=lnx有公共点,
则k≤
1
e

即k的最大值为
1
e

故答案为:
1
e
根据导数的几何意义,即可求出k的最大值.

利用导数研究曲线上某点切线方程.

本题主要考查方程交点的应用,根据导数的几何意义转化为求函数的切线斜率是解决本题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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