题目

矩阵证明题：若n阶方阵满足AA^T=E,设a是n维列向量,a^Ta=/0矩阵A=E-3aa^T.
证明：A为正交矩阵的充分必要条件是a=2/3 =/是不等于的意思
=/是不等于的意思

提问时间：2020-10-09

答案

一个更正,问题中的“a=2/3”似乎有误,应为“a^Ta=2/3”
首先可知A是一个对称阵,那么AA^T=E就等价于(E-3aa^T)(E-3aa^T)=E,展开就得E-6aa^T+9(a^Ta)(aa^T)=E,进一步合并同类项有：（9a^Ta-6）aa^T=0
如果aa^T为零矩阵,则A=E,就过于特殊,故应不为零矩阵,所以括号内必为零,证毕