题目

集合{1,2,3,…,2009}的元素和为奇数的非空子集的个数为
答案为2^2008
方法一：令f(x)=(1+x)(1+x^)(1+x^3）…（1+x^2009)(为什么?）
则问题中要求的答案为f(x)的展开式中x的奇次项的系数和.故所求的答案为（f(1)-f(-1)）/2=（2^2009-0）/2=2^2008
另解：对集合｛1,2,3,…,2009｝的不含2009的子集A讨论,若A的个数之和为偶数则补入2009,否则不补,故共有2^2008个元素和为奇数的非空子集（为什么?）
请写出对以上两种解法的理解,不要另外的解法

提问时间：2020-10-09

答案

可以这样理解,先把集合{1,2,3,…,2009}中的偶数无数挑出来,组成集合B＝{2,4,6,…,2008}
可以看出,在集合B中加入奇数个奇数,方能使B满足题目中的条件,元素和为奇数的非空子集
而集合{1,2,3,…,2009}中奇数个为1005个,因此
元素和为奇数的非空子集的个数
＝C（1005,1）＋C（1005,3）＋.＋C（1005,1005）
根据二项式定理
C（1005,1）＋C（1005,3）＋.＋C（1005,1005）＝C（1005,0）＋C（1005,2）＋.＋C（1005,1004）
因此,元素和为奇数的非空子集的个数
＝C（1005,1）＋C（1005,3）＋.＋C（1005,1005）
＝1/2[C（1005,0）＋C（1005,1）＋.＋C（1005,1005）]
＝1/2*2^1005
=2^1004