题目
当m的取值在什么范围内时,关于x的一元二次方程mx2-4x+5=0与x2-4mx+4m2-3m-3=0有实数根.是否存在整数m,使得方程的根也为整数?若存在,请求出;若不存在,请说明理由.
提问时间:2020-10-09
答案
∵关于x的一元二次方程mx2-4x+5=0与x2-4mx+4m2-3m-3=0有实数根,
∴
,
解得-1≤m≤
且m≠0,
即当-1≤m≤
且m≠0时,关于x的一元二次方程mx2-4x+5=0与x2-4mx+4m2-3m-3=0有实数根.
如果存在整数m,使得方程的根也为整数,那么m=-1.
当m=-1时,方程mx2-4x+5=0即为-x2-4x+5=0,
解得x1=-5,x2=1,符合题意;
当m=-1时,方程x2-4mx+4m2-3m-3=0即为x2+4x+4=0,
解得x1=x2=-2,符合题意;
故存在整数m=-1,使得方程的根也为整数.
∴
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解得-1≤m≤
4 |
5 |
即当-1≤m≤
4 |
5 |
如果存在整数m,使得方程的根也为整数,那么m=-1.
当m=-1时,方程mx2-4x+5=0即为-x2-4x+5=0,
解得x1=-5,x2=1,符合题意;
当m=-1时,方程x2-4mx+4m2-3m-3=0即为x2+4x+4=0,
解得x1=x2=-2,符合题意;
故存在整数m=-1,使得方程的根也为整数.
先由关于x的一元二次方程mx2-4x+5=0与x2-4mx+4m2-3m-3=0有实数根,得出
,解不等式组得到-1≤m≤
且m≠0,即当-1≤m≤
且m≠0时,关于x的一元二次方程mx2-4x+5=0与x2-4mx+4m2-3m-3=0有实数根.假设存在整数m,使得方程的根也为整数,那么m=-1.将m=-1分别代入方程mx2-4x+5=0与x2-4mx+4m2-3m-3=0,求出这两个方程的解即可判断.
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根的判别式.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac的关系:①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;③当△<0时,方程无实数根.同时考查了一元二次方程的定义及解法.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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