题目

如图，等腰直角三角形AEF的顶点E在等腰直角三角形ABC的边BC上．AB的延长线交EF于D点，其中∠AEF=∠ABC=90°．

（1）求证：

AD

AE

＝

2 AE

AC

；
（2）若E为BC的中点，求

DB

DA

的值．

提问时间：2020-10-09

答案

（1）证明：∵△AEF、△ABC是等腰直角三角形，∴∠EAF=∠BAC=45°，∠F=∠C=45°，∴∠FAD=∠CAE，∴△FAD∽△CAE，∴ADAE=AFAC，∵∠AEF=90°，AE=EF，∴AF=2AE，∴ADAE＝2AEAC；（2）设BE=a，∵E为BC的中点，∴EC=...

（1）由△AEF、△ABC是等腰直角三角形，易证得△FAD∽△CAE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得

AD

AE

=

AF

AC

，又由等腰直角三角形的性质，可得AF=

2

AE，即可证得

AD

AE

＝

2 AE

AC

；
（2）首先设BE=a，由射影定理，可求得DB的长，继而可求得DA的长，即可求得答案．

本题考点：相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及射影定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．