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题目
已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点.
(1)求证:以AB为直径的圆过坐标系的原点O;
(2)当△OAB的面积等于
10
时,求k的值.

提问时间:2020-10-07

答案
(1)证明:由题意可得方程组
y2=-x
y=k(x+1)

消去x可得ky2+y-k=0,
设A(x1,y1)B(x2,y2)由韦达定理可得y1•y2=-1,
∵A、B在抛物线y2=-x上,
∴y12=-x1,y22=-x2,y12y22=x1x2
∵kOA•kOB=
y1y2
x1x2
=
1
y1y2
=-1;
∴OA⊥OB,
故以AB为直径的圆过坐标系的原点O.
(2) 设直线与x轴交于N,又k≠0,
∴令y=0,则x=-1,即N(-1,0),
∵S△OAB=S△OAN+S△ONB
=
1
2
•|ON|•|y1|+
1
2
•|ON|•|y2|

=
1
2
|ON|•|y1-y2|

∴S△OAB=
1
2
×1×
(y1+y2)2-4y 1y2

=
1
2
(
1
k
)2+4
=
10

解得k=±
1
6
(1)利用直线与抛物线联立方程组,通过韦达定理,推出AN两点纵横坐标的关系,求出OA与OB的斜率乘积等于-1,即可得到以AB为直径的圆过坐标系的原点O;
(2)设直线与x轴交于N,求出N(-1,0),利用S△OAB=S△OAN+S△ONB,通过△OAB的面积等于
10
,即可求k的值.

直线与圆锥曲线的关系;圆的标准方程;抛物线的简单性质.

本题考查直线与抛物线的关系,韦达定理的应用,三角形面积的转化,考查计算能力,转化思想的应用.

举一反三
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